☛ Racine carrée et carré

Énoncé

1. Dans chaque cas, comparer les réels positifs \(A\) et \(B\) en les mettant au carré.
    a. \(A=2 \sqrt 5\) et \(B=3\sqrt 2\)
    b. \(A=\sqrt 3-\sqrt 2\) et \(B=\sqrt{6-2\sqrt 6}\)
2. On considère le réel \(A=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt 5}{3+\sqrt 5}}\).
Calculer \(A\). Astuce : élever \(A\) au carré !

Solution

1. a. Les réels \(A\) et \(B\) sont positifs. Ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés.
\(A^2=(2\sqrt5)^2=4\times 5=20\) et \(B^2=9\times 2=18\). On a \(B^2<A^2\).
    Donc \(B<A\).
    b. Les réels \(A\) et \(B\) sont positifs. Ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés. \(A^2=(\sqrt 3-\sqrt 2)^2=3-2\sqrt 6+2=5-2\sqrt6\) et \(B^2=6-2\sqrt 6\). On a \(A^2<B^2\).
      Donc \(A<B\)​​​​​​.

2. Le réel \(A\) est un nombre positif puisque c'est la somme de deux racines carrées qui sont positives.
On élève \(A\) au carré.
On utilise la première identité remarquable.
\(A^2=\dfrac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}+2\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}\times\dfrac{3-\sqrt 5}{3+\sqrt 5}}+\dfrac{3-\sqrt5}{3+\sqrt 5}\)
\(A^2=2+\dfrac{(3+\sqrt 5)^2+(3-\sqrt 5)^2}{(3-\sqrt 5)(3+\sqrt 5)}=2+\dfrac{14+6\sqrt 5+14-6\sqrt 5}{9-5}=2+\dfrac{28}{4}=2+7=9\)
Comme \(A>0\), on obtient \(A=3\).